\section{二次型化标准形、规范形}
	\begin{titwo}
		二次型 $f(x_{1},x_{2},x_{3}) = x_{1}^{2} + 4x_{2}^{2} + 4x_{3}^{2} - 4x_{1}x_{2} + 4\*x_{1}x_{3} - 8x_{2}x_{3}$ 的规范形是 \kuo.

		\twoch{$z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + z_{3}^{2}$}{$z_{1}^{2} - z_{2}^{2} - z_{3}^{2}$}{$z_{1}^{2} - z_{2}^{2}$}{$z_{1}^{2}$}
	\end{titwo}

	\begin{titwo}
		若二次型
		\[
			f(x_{1},x_{2},x_{3}) = x_{1}^{2} + ax_{2}^{2} + x_{3}^{2} + 2x_{1}x_{2} - 2x_{2}x_{3} - 2ax_{1}x_{3}
		\]
		的正、负惯性指数都是 $1$. 则 $a = $ \htwo.
	\end{titwo}

	\begin{titwo}
		已知 $f(x_{1},x_{2},x_{3}) = 5x_{1}^{2} + 5x_{2}^{2} + cx_{3}^{2} - 2x_{1}x_{2} + 6x_{1}x_{3} - 6x_{2}x_{3}$ 的秩为 $2$. 试确定参数 $c$ 及二次型对应矩阵的特征值，并问 $f(x_{1},x_{2},x_{3}) = 1$ 表示何种曲面.
	\end{titwo}

	\begin{titwo}
		设 $\bm A \sim \bm \varLambda = \begin{bsmallmatrix}
			1 & 0 & 0 \\
			0 & 2 & 0 \\
			0 & 0 & 3
		\end{bsmallmatrix}$, $f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 11x - 5$，则 $f(\bm A) = $ \htwo.
	\end{titwo}

	\begin{titwo}
		设 $\bm A$ 是 $3$ 阶实对称矩阵，$\lambda = 5$ 是 $\bm A$ 的二重特征值. 对应的特征向量为 $\bm \xi_{1} = [1,-1,2]^{\TT}$, $\bm \xi_{2} = [1,2,1]^{\TT}$，则二次型 $f(x_{1},x_{2},x_{3}) = \bm x^{\TT} \bm A \bm x$ 在 $\bm x_{0} = [1,5,$ $0]^{\TT}$ 的值 $f(1,5,0) = $ \htwo.
	\end{titwo}

	\begin{titwo}
		已知二次型
		\[
			f(x_{1},x_{2},x_{3}) = 4x_{2}^{2} - 3x_{3}^{2} + 4x_{1}x_{2} - 4x_{1}x_{3} + 8x_{2}x_{3}.
		\]
		\begin{enumerate}
			\item 写出二次型 $f$ 的矩阵表达式;
			\item 用正交变换把二次型 $f$ 化为标准形，并写出相应的正交矩阵.
		\end{enumerate}
	\end{titwo}

	\begin{titwo}
		已知二次曲面方程
		\[
			x^{2} + ay^{2} + z^{2} + 2bxy + 2xz + 2yz = 4
		\]
		可以经过正交变换
		\[
			\begin{bsmallmatrix}
				x \\
				y \\
				z
			\end{bsmallmatrix} = \bm P
			\begin{bsmallmatrix}
				\xi \\
				\eta \\
				\zeta
			\end{bsmallmatrix}
		\]
		化为椭圆柱面方程 $\eta^{2} + 4 \zeta^{2} = 4$，求 $a$, $b$ 的值和正交矩阵 $\bm P$.
	\end{titwo}

	\begin{titwo}
		已知 $f(x,y) = x^{2} + 4xy + y^{2}$，求正交矩阵 $\begin{bsmallmatrix}
			x \\
			y
		\end{bsmallmatrix} = \bm P \begin{bsmallmatrix}
			u \\
			v
		\end{bsmallmatrix}$ 中的矩阵 $\bm P$，使得
		\[
			f(x,y) = 2u^{2} + 2\sqrt{3} uv.
		\]
	\end{titwo}